1923'te Trabzon'un Akçaabat ilçesinde doğan Birincioğlu, ilk ve orta öğreniminden sonra 1942'de Trabzon Lisesi, 1950'de İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesinden mezun oldu.
Trabzon Barosu'nda serbest avukat olarak çalışan Birincioğlu, 1961'den sonra Adalet Partisinde politikaya girdi. Birincioğlu, 15 Ekim 1965'te yapılan genel seçimlerde Trabzon Milletvekilliğine seçildi. 1969'da tekrar Trabzon Milletvekili seçilerek, Gümrük ve Tekel Bakanlığına atandı.
12 Kasım 1979'da Milli Savunma Bakanlığına getirilen Birincioğlu, 12 Eylül 1980'deki askeri müdahaleye kadar görevine devam etti.
Birincioğlu, ayrıca, Ziraat Bankası, Türkiye Çimento ve Toprak Sanayii, Devlet Malzeme Ofisi ve Devlet Demiryolları İşletmesinde yönetim kurulu üyelikleri yaptı.
Eski Milli Savunma bakanlarından Ahmet İhsan Birincioğlu, 15 gündür tedavi gördüğü özel Güven Hastanesinde 20 Ocak 2007 günü akşamı vefat etti.
Birincioğlu'nun cenazesi, Trabzon'un Akçaabat ilçesi Merkez Camii'nde kılınan öğle namazının ardından toprağa verildi.
Gümrük ve Tekel Bakanlığı görevinde de bulunan Birincioğlu, evli ve 3 çocuk babasıydı.
